বীজগণিতীয় রাশি (চতুর্থ অধ্যায়)

পাটিগণিতে আমরা সংখ্যা ও সংখ্যার বৈশিষ্ট্য জেনে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধান করেছি। জ্যামিতিতে বস্তুর আকৃতি সম্পর্কে জেনেছি। এবার আমরা গণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ শাখা বীজগণিত সম্পর্কে জানবো। গণিতের এই শাখার বৈশিষ্ট্য হলো অক্ষর প্রতীকের প্রয়োগ। অক্ষর প্রতীক ব্যবহার করে আমরা নির্দিষ্ট কোনো সংখ্যার বদলে যেকোনো সংখ্যা বিবেচনা করতে পারি। দ্বিতীয়ত, অক্ষর অজানা পরিমাণের প্রতীক হিসেবে এবং সংখ্যার পরিবর্তে ব্যবহৃত হয় বিধায় সকল গাণিতিক প্রক্রিয়া মেনে বীজগণিতীয় রাশি গঠন করা হয়।

এ অধ্যায়ে বীজগণিতীয় প্রতীক, চলক, সহগ, সূচক, বীজগণিতীয় রাশি, বীজগণিতীয় রাশির যোগ ও বিয়োগ উপস্থাপন করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

• বীজগণিতীয় প্রতীক, চলক, সহগ, সূচক ব্যবহার করে গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
• বীজগণিতীয় রাশির সদৃশ ও বিসদৃশ পদ শনাক্ত করতে পারবে।
• এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট বীজগণিতীয় রাশি বর্ণনা করতে পারবে।
• বীজগণিতীয় রাশির যোগ ও বিয়োগ করতে পারবে।

বীজগণিতীয় প্রতীক

পাটিগণিতে সংখ্যা প্রতীক বা অঙ্কগুলো ১,২,৩,৪,৫,৬, ৭, ৮, ৯,০। বীজগণিতে ব্যবহৃত সংখ্যা প্রতীক বা অঙ্কগুলো 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0। এ সব সংখ্যা প্রতীক দ্বারা যেকোনো সংখ্যা লেখা যায়। তবে, বীজগণিতে সংখ্যা প্রতীকের সাথে অক্ষর প্রতীকও ব্যবহার করা হয়। এটি বীজগণিতের মৌলিক বৈশিষ্ট্য। বীজগণিতে a,b,c, _________p,q,r,_________ x, y, z,__________ ইত্যাদি অক্ষর দ্বারা জানা বা অজানা সংখ্যা বা রাশিকে প্রকাশ করা হয়।

মনে করি, মলির কাছে কয়েকটি আম আছে। এখানে মলির কাছে কয়টি আম আছে তা নির্দিষ্ট করে বলা হয়নি। তার কাছে যেকোনো সংখ্যক আম থাকতে পারে। তবে বীজগণিতীয় প্রতীকের সাহায্যে বলা যায়, তার কাছে x সংখ্যক আম আছে। x এর মান 5 হলে, মলির কাছে ১টি আম আছে; x এর মান 10 হলে, মলির কাছে 10টি আম আছে, ইত্যাদি।

চলক: অক্ষর প্রতীক x এর মান 5 বা 10 বা অন্য কোনো সংখ্যা হতে পারে। বীজগণিতে এ ধরনের অজ্ঞাত রাশি বা অক্ষর প্রতীককে চলক বলে। অতএব, x চলকের একটি উদাহরণ।

এখানে চলক হিসেবে প্রতীক ব্যবহার করা হয়েছে। x প্রতীকের পরিবর্তে y প্রতীক নয় কেন? চলক হিসেবে x এর পরিবর্তে y বা অন্য কোনো প্রতীকও ব্যবহার করা যায়।

লক্ষ করি:

• চলক এমন একটি প্রতীক যার মানের পরিবর্তন হয়।
• চলকের মান নির্দিষ্ট নয়।
• চলক বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে।

প্রক্রিয়া চিহ্ন: পূর্বে আমরা পাটিগণিতে যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ সম্পর্কে জেনেছি। এগুলো যেসব চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়, তাদেরকে প্রক্রিয়া চিহ্ন বলা হয়।

ধরি, xও y দুইটি চলক। তাহলে, x প্লাস কে লেখা হয়, x + y x মাইনাস কে লেখা হয়, x - y x ইন্টু y কে লেখা হয়, x$\times$y, বা x.y, বা xy x ডিভিশন y কে লেখা হয়, x÷y, বা $\frac{X }{y}$ x ইন্টু 3 কে লেখা হয়, x$\times$3, বা x.3, বা 3.x; কিন্তু x3 লেখা হয় না।

সাধারণভাবে, গুণ (ইন্টু) এর ক্ষেত্রে প্রথমে সংখ্যা প্রতীক ও পরে অক্ষর প্রতীক লেখা হয়।
যেমন, 3x, 5y, 10a ইত্যাদি।

বীজগণিতে দুইটি প্রতীক পাশাপাশি লিখলে এদের মধ্যে '$\times$' চিহ্ন আছে ধরে নিতে হয়। যেমন, a$\times$b = ab ,a.b=ab

উদাহরণ ১। নিচের বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা কী বোঝায়?

(i) 8x
(ii) a + 5b
(iii) 3x - 2
(iv) $\frac{ax + by}{4}$

সমাধান: (i) 8x হচ্ছে 8x বা, x $\times$ 8 অর্থাৎ, x এর ৪ গুণ
(ii) a + 5b হচ্ছে a এর সাথে b এর 5 গুণের যোগ
(iii) 3x - 2 হচ্ছে x এর 3 গুণ থেকে 2 বিয়োগ
(iv) $\frac{ax + by}{4}$হচ্ছে a ও x এর গুণফলের সাথে b ও y এর গুণফলের সমষ্টিকে 4 দিয়ে ভাগ।

উদাহরণ ২। 1 +,-, x, ÷ চিহ্নের সাহায্যে লেখ:

(i) x এর পাঁচগুণ থেকে y এর তিনগুণ বিয়োগ
(ii) a ও b এর গুণফল এর সাথে c এর দ্বিগুণ যোগ
(iii) x ও y এর যোগফলকে x থেকে y এর বিয়োগফল দ্বারা ভাগ
(iv) একটি সংখ্যার পাঁচগুণ থেকে অপর একটি সংখ্যার চারগুণ বিয়োগ।

সমাধান:
(i) x এর 5 গুণ 5x এবং y এর 3 গুণ 3y নির্ণেয় বিয়োগ = 5x - 3y .

(ii) aও b এর গুণফল ab এবং c এর দ্বিগুণ 2c নির্ণেয় যোগ = ab + 2c .

(iii) x ও y এর যোগফল x + y এবং x থেকে y এর বিয়োগফল x - y নির্ণেয় ভাগফল = $\frac{x+y}{x-y}$

(iv) মনে করি, একটি সংখ্যা x, যার 5 গুণ 5.x এবং অপর একটি সংখ্যা y, যার 4 গুণ 4y নির্ণেয় বিয়োগ = 5x - 4y

5x, 2x + 3y , 5x + 3y - z , 3b $\times$ c - y, 5x $÷$ 2 y + 9x - y ইত্যাদি এক একটি বীজগণিতীয় রাশি। প্রক্রিয়া চিহ্ন ও সংখ্যাসূচক প্রতীক এর অর্থবোধক সংযোগ বা বিন্যাসকে বীজগণিতীয় রাশি বলা হয়। বীজগণিতীয় রাশির যে অংশ যোগ (+) ও বিয়োগ (-) চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত থাকে, এদের প্রত্যেকটিকে ঐ রাশির পদ বলা হয়। যেমন, 4x + 3y একটি রাশি। রাশিটিতে 4.x ও 3y দুইটি পদ রয়েছে। এরা যোগ চিহ্ন দ্বারা যুক্ত। আবার, 5x + 3y $÷$ c , 4b $\times$ 2y রাশিতে 5x, 3y$÷$ c, 4b $\times$ 2y তিনটি পদ আছে। 4x একটি একপদী, 2x + 3y একটি দ্বিপদী, a - 2b + 4c একটি ত্রিপদী রাশি।

সহগ: কোনো একপদী রাশিতে চলকের সাথে যখন কোনো সংখ্যা গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির সাংখ্যিক সহগ বা সহগ বলে। যেমন, 3x, 5y, 8xy, 9a ইত্যাদি একপদী রাশি এবং 3,5,8,9 যথাক্রমে এদের সহগ।

একপদী রাশির সাথে যখন কোনো সংখ্যা গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে না, তখন ঐ রাশির সহগ 1 ধরা হয়। যেমন, a, b, x, y ইত্যাদি একপদী রাশি এবং প্রত্যেকটির সহগ 1; কারণ,

a = 1a বা 1 $\times$ a; x = 1x বা 1$\times$x.

যখন কোনো চলকের সাথে কোনো অক্ষর প্রতীক গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির আক্ষরিক সহগ বলে। যেমন, ax, by, mz ইত্যাদি রাশিতে ax = a $\times$ x, by = b$\times$y , mz = m$\times$z যেখানে, a,b ও m কে যথাক্রমে x, y ও z এর আক্ষরিক সহগ বলা হয়। আবার, 3x + by রাশিতে x এর সহগ 3 এবং y এর সহগ b.

উদাহরণ ৩। সহগ নির্ণয় কর:

(i) 8x
(ii) 7xy
(iii) $\frac{3}{2}ab$
(iv) axy
(v)-xyz

সমাধান :

(i) 8x = 8 $\times$ x

(ii) 7xy = 7 $\times$ xy

(iii) $\frac{3}{2}ab$ = $\frac{3}{2} \times ab$

(iv) axy = 1 $\times$ axy

(v) - xyz = - 1 $\times$ xyz

উদাহরণ ৪। x এর আক্ষরিক সহগ নির্ণয় কর:

(i) bx
(ii) pqx
(iii) mx + c
(iv) ax - bz

সমাধান:
(i) bx = bx

(ii) pqx = pq $\times$x

(iii) mx + c = m $\times$ x + c

(iv) ax - bz = a $\times$ x - bz

x এর সহগ b
x এর সহগ pq
x এর সহগ m
x এর সহগ a

উদাহরণ ৫। একটি কলমের দাম x টাকা, একটি খাতার দাম y টাকা এবং একটি ঘড়ির দাম z টাকা হলে, নিচের প্রতীকগুলো দ্বারা কী বোঝায়?

(i) 5x
(ii) 7y
(iii) 2x + 5y
(iv) x + y + z

সমাধান:

(i) 5.x দ্বারা 5টি কলমের দাম বোঝায়।
(ii) 7y দ্বারা 7টি খাতার দাম বোঝায়।

(iii) 2x + 5y দ্বারা 2টি কলমের দাম ও ১টি খাতার দামের সমষ্টি বোঝায়।
(iv) x+y+z দ্বারা একটি কলমের দাম, একটি খাতার দাম ও একটি ঘড়ির দামের সমষ্টি বোঝায়।
(v) 4x + 3z দ্বারা 4টি কলমের দাম ও 3টি ঘড়ির দামের সমষ্টি বোঝায়।

উদাহরণ ৬। একটি গরুর দাম x টাকা, একটি খাসির দাম y টাকা হলে,

উদাহরণ ৬। একটি গরুর দাম x টাকা, একটি খাসির দাম ৮ টাকা হলে,
(i) চারটি গরু ও ছয়টি খাসির মোট দাম কত?
(ii) সাতটি গরু ও পাঁচটি খাসির মোট দাম কত?

সমাধান:

(i) চারটি গরু ও ছয়টি খাসির মোট দাম (4x+6y) টাকা।
(ii) সাতটি গরু ও পাঁচটি খাসির মোট দাম (7x+5y) টাকা।

উদাহরণ ৭:। প্লাবন ছয়টি কলম ও তিনটি খাতা এবং শ্রাবণ চারটি কলম ও পাঁচটি খাতা ক্রয় করে। একটি কলমের মূল্য x টাকা এবং একটি খাতার মূল্য y টাকা।

(ক) প্লাবনের মোট খরচ বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ কর?
(খ) দুই জনের মোট খরচের পরিমান নির্ণয় কর।
(গ) যদি x=15 হয় এবং y=25 হয় তবে প্লাবন ও শ্রাবণের খরচের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান:

(ক)

1টি কলমের দাম x টাকা
অতএব 6 টি কলমের দাম 6.x টাকা
আবার 1 টি খাতার দাম y টাকা
অতএব 3 টি খাতার দাম 3y টাকা
অতএব প্লাবনের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি 6x+3y

(খ)

'ক' হতে প্রাপ্ত, প্লাবনের মোট খরচের বীজগনিতীয় রাশি 6x+3y
1 টি কলমের দাম x টাকা
অতএব, 4 টি কলমের দাম 4.x টাকা
আবার, 1টি খাতার দাম y টাকা
অতএব, 5 টি খাতার দাম 5y টাকা
অতএব, শ্রাবণের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি 4.x+5y
সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে সাজিয়ে পাই
$6x+3y+4x+5y10x+8y$

দুইজনের মোট খরচের পরিমাণ (10x+8y) টাকা।

(গ) x=15 টাকা এবং y=25 টাকা

প্লাবণের মোট খরচের পরিমাণ = 6x+3y
= (6.15+3.25) টাকা।
= (90+75) টাকা
= 165 টাকা

শ্রাবণের মোট খরচের পরিমাণ 4x+5y

= (4.15+5.25) টাকা।
= (60+125) টাকা
= 185 টাকা

প্লাবন ও শ্রাবণের খরচের অনুপাত= 165 : 185

= 33 : 37

১। নিচের বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা কী বোঝায়?

(i) 9x
(ii) 5x + 3
(iii) 3a + 4b
(iv) 3a $\times$ b $\times$ 4c

(v) $\frac{4x + 5y}{2}$

(vi) $\frac{7x - 3y}{4}$

(vii) $\frac{x}{3} + \frac{y}{2}- \frac{z}{5}$

(viii) 2x - 5y + 7z

(ix) $\frac{2}{3} (x + y + z)$

(x) $\frac{ac - bx}{7}$

২। +,-, ×, ÷ চিহ্নের সাহায্যে লেখ:

(i) x এর চারগুণের সাথে y এর পাঁচগুণ যোগ
(ii) a এর দ্বিগুণ থেকে ৮ বিয়োগ
(iii) একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে অপর একটি সংখ্যার দ্বিগুণ যোগ
(iv) একটি সংখ্যার চারগুণ থেকে অপর একটি সংখ্যার তিনগুণ বিয়োগ
(v) a থেকে b এর বিয়োগফলকে a ও b এর যোগফল দ্বারা ভাগ
(vi) x কেy দ্বারা ভাগ করে ভাগফলের সাথে 5 যোগ
(vii) 2 কে x দ্বারা, 5 কে y দ্বারা, 3 কে z দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগফলগুলোর যোগ
(viii) a কে b দ্বারা ভাগ করে ভাগফলের সাথে 3 যোগ
(ix) pকেq দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলের সাথে যোগ
(x) x কেy দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত গুণফল থেকে 7 বিয়োগ।

৩। 2x + 3y $÷$ 4 x - 5x $\times$ 8y রাশিটিতে কয়টি পদ আছে এবং পদগুলো কী কী?

৪। রাশির পদ সংখ্যা নির্ণয় কর:

(i) 7xy
(ii) 2a + b
(iii) x - 3y + 5z
(iv) 5a + 7b $\times$ x - 3c $÷$ y
(v) x + 5x $\times$ b - 3y $÷$ c

৫। (ক) প্রত্যেক পদের সহগ নির্ণয় কর:

(i) 6b
(ii) xy
(iii) 7ab
(iv) 2x + 5ab
(v) 2x + 8y
(vi) 14y - 4z
(vii) $-\frac{1}{2}$xyz

(খ) x এর আক্ষরিক সহগ নির্ণয় কর:

(i) ax
(ii) ax + 3
(iii) ax + bz
(iv) pxy

৬। একটি কলমের দাম x টাকা ও একটি বইয়ের দাম ৮ টাকা হলে, নিচের রাশিগুলো দ্বারা কী বোঝানো হয়েছে তা লেখ:

(i) 3y
(ii) 7x
(iii) x + 9y
(iv) 5x + 8y
(v) 6y + 3x

৭। (ক) একটি খাতার দাম x টাকা, একটি পেন্সিলের দাম ৮ টাকা এবং একটি রাবারের দাম z টাকা হলে

(i) পাঁচটি খাতা ও ছয়টি পেন্সিলের মোট দাম কত?
(ii) আটটি পেন্সিল ও তিনটি রাবারের মোট দাম কত?
(iii) দশটি খাতা, পাঁচটি পেন্সিল ও দুইটি রাবারের মোট দাম কত?

খ) এক হালি কলার দাম x টাকা হলে,

(i) 5 হালি কলার দাম কত?
(ii) 12টি কলার দাম কত?

৮। সঠিক উত্তরটি খাতায় লেখ:

(i) x এর দ্বিগুণ থেকে 5 বিয়োগ করলে নিচের কোনটি হবে?

(ক) 2b + 5
(খ) 2b - 5
(গ) $\frac{x}{2}+5$
(ঘ) 5-2x

(ii) a এর 3 গুণের সাথে x এর y গুণ যোগ করলে নিচের কোনটি হবে?

(ক) 3a + xy
(খ) 3x + ay
(গ) ax + 3y
(ঘ) ay + 3x

(iii) a এবং c এর গুণফল থেকে b এবং x এর গুণফল বিয়োগ করলে নিচের কোনটি হবে?

(ক) ac + bx
(খ) bc + ax
(গ) ac - bx
(ঘ) bx - ac

2,4,8,16 ইত্যাদি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বের করে পাই,

2 = 2,2 আছে 1 বার
4=2$\times$2,2 গুণ আকারে আছে 2 বার
8=2$\times$2$\times$2,2 গুণ আকারে আছে 3 বার
16=2$\times$2$\times$2$\times$2,2 গুণ আকারে আছে 4 বার

কোনো রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে, সেই সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক এবং উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয়।

লক্ষণীয় যে, 2 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি একবার আছে, এখানে সূচক 1 এবং ভিত্তি 2। 4 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি 2 বার আছে। কাজেই সূচক 2 এবং ভিত্তি 2। আবার, ৪ এবং 16 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি যথাক্রমে 3 বার এবং 4 বার আছে। সেজন্য ৪ এর সূচক 3 ও ভিত্তি 2 এবং 16 এর সূচক 4 ও ভিত্তি 2

ঘাত বা শক্তি

এ একটি বীজগণিতীয় রাশি। একে এ দ্বারা এক বার, দুই বার, তিন বার গুণ করলে হবে:

$a\times a=a^2$ যেখানে a² কে a এর দ্বিতীয় ঘাত বলে এবং a² কে পড়া হয় এ এর বর্গ

$a\times a\times a=a^3$ যেখানে a³ কে a এর তৃতীয় ঘাত বলে এবং a³ কে পড়া হয় এ এর ঘন

$a\times a\times a\times a=a^4$ যেখানে a⁴ কে a এর চতুর্থ ঘাত বলে, ইত্যাদি।

অনুরূপভাবে, এ কে যদি n বার গুণ করা হয় তবে আমরা পাই $a \times a\times a\times$ ________ $\times a$ (n বার) = aⁿ। এখানে aⁿ কে a এর ॥ তম ঘাত বা শক্তি বলে এবং n হবে ঘাতের সূচক ও a হবে ভিত্তি। সুতরাং a² এর ক্ষেত্রে a এর ঘাত বা সূচক 2 ও ভিত্তি a; a³ এর ক্ষেত্রে ৫ এর ঘাত বা সূচক 3 ও ভিত্তি a, ইত্যাদি।

সংখ্যার ক্ষেত্রে সূচক থেকে আমরা একটি সূচকমুক্ত ফলাফল পাই, কিন্তু অক্ষরের ক্ষেত্রে সূচক থেকে ফলাফল সূচক আকারেই থাকে।

উদাহরণস্বরূপ,

$2^3+3^2=2\times 2\times 2+3\times 3=8+9=17$

$a^4+2^4=a\times a\times a\times a+2\times 2\times 2\times 2\times 2=a^4+16$

উদাহরণ ৮। সরল কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right) a x a^2 \\ \left(ii\right) a^3 x a^2 \\ \left(iii\right) a x a^3 \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a\times a^2=a\times a\times a=a^3 \\ \left(ii\right)a^3\times a^2=(a\times a\times a)(a\times a)=a\times a\times a\times a\times a\times a\times a=a^5 \\ \left(iii\right)a^4\times a^3=(a\times a\times a\times a)(a\times a\times a)=a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a=a^7 \end{gathered}$$

লক্ষ করি:

$$\begin{gathered} a\times a^2=a^1\times a^2=a^3=a^{1+2} \\ {a}^3\times a^2=a^5=a^{3+2} \\ {a}^4\times a^3=a^7=a^{4+3} \end{gathered}$$

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি, $\boxed{a^m \times a^n = a^{m+n}}$ m ও n স্বাভাবিক সংখ্যা। গুণনের এই প্রক্রিয়াকে বলা হয় সূচকের গুণনবিধি।

উদাহরণ ৯। গুণ কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right) a^4\times a^5 \\ \left(ii\right) x^3 \times x^8 \\ \left(iii\right) x^5 \times x^9 \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a^4\times a^5=a^{4+5}=a^9 \\ \left(ii\right)x^3\times x^8=x^{3+8}=x^{11} \\ \left(iii\right)x^5\times x^9=x^{5+9}=x^{14} \end{gathered}$$

উদাহরণ ১০। সরল কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right) 2a\times 3b^2 \times 4c \times 6a^{2 }\times 5b^3 \\ \left(ii\right) a\times a\times a\times b\times c\times b\times c\times a\times c\times b. \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right) 2a\times 3b^2\times 4c\times 6a^2\times 5b^3 \\ =(2a\times 6a^2)\times (3b^2\times 5b^3)\times 4c \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =\left(2\times 6\times a^{1+2}\right) \times \left(3\times 5\times b^{2+3}\right) \times 4c \\ =12a^3\times 15b^{5 }\times 4c \\ =(12\times 15\times 4)a^3{b}^{5}c \\ =720a^3{b}^{5}c. \end{gathered}$$

(ii)

$$\begin{gathered} a\times a\times a\times b\times c\times b\times c\times a\times c\times b \\ =(a\times a\times ax\times a) \times (b\times b\times b) \times (c\times c\times c) \\ = a^4{b}^3{c}^3. \end{gathered}$$

উদাহরণ ১১ । a = 1 , b = 2 , c = 3 হলে, নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a^2+b^2+c^2 \\ \left(ii\right) a^2 + 2ab-c \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a^2+b^2+c^2 \\ =1^2+2^2+3^2=1+2\times 2+3\times 3 \\ = 1 + 4 + 9 = 14 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(ii\right) a^2+2ab-c \\ =1^2+2.1.2-3 \\ =1+4-3 \\ =5-3-2. \end{gathered}$$

১। সরল কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right)x^3\times x^7 \\ \left(ii\right)a^3\times a\times a^5 \\ \left(iii\right)x^4\times x^2\times x^9 \\ \left(iv\right)m\times m^2\times n^3\times m^3\times n^7 \\ \left(v\right)3a\times 4b\times 2a\times 5c\times 3b \\ \left(vi\right)2x^2\times y^2\times 2z^2\times 3y^2\times 4x^2 \end{gathered}$$

২। a = 2 b = 3 c = 1 হলে, নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a^3+b^2 \\ \left(ii\right)b^3+c^3 \\ \left(iii\right)a^2-b^2+c^2 \\ \left(iv\right)b^2-2ab+a^2 \\ \left(v\right)a^2-2ac+c^2 \end{gathered}$$

৩। x = 3 y = 5 z = 2 হলে, দেখাও যে,

$$\begin{gathered} \left(i\right)y^2-x^2=(x+y)(y-x) \\ \left(ii\right)(x+y{)}^2=(x-y{)}^2+4xy \\ \left(iii\right)(y+z{)}^2=y^2+2yz+z^2 \\ (iv\left)\right(x+z{)}^2=x^2+2xz+z^2 \end{gathered}$$

৪। সঠিক উত্তরটি লেখ:

(i) $a^7\times a^8$ এর মান কোনটি?

$$\begin{gathered} \left(ক\right)a^{56} \\ \left(খ\right)a^{15} \end{gathered}$$
(গ) 15
(ঘ) 56

(ii) $a^3\times a^{-3}$ এর মান কোনটি?

$$\begin{gathered} \left(ক\right)a^6 \\ \left(খ\right)a^9 \\ \left(গ\right)a^0 \\ \left(ঘ\right)a^3 \end{gathered}$$

(iii) $5x^2\times 4x^4$ এর মান কোনটি?

$$\begin{gathered} \left(ক\right)x^6 \\ \left(খ\right)20x^6 \\ \left(গ\right)20x^8 \\ \left(ঘ\right)9x^6 \end{gathered}$$

(iv) $x^5\times x^4এ x$ এর সূচক কোনটি?

$$\begin{gathered} \left(ক\right)x^{20} \\ \left(খ\right)x^9 \\ \left(গ\right)9 \\ \left(ঘ\right)20 \end{gathered}$$

(v) $5a^3 \times a^{5 }এ a$ এর সূচক কোনটি?

(ক) 5
(খ) a⁸
(গ) 15
(ঘ) ৪

$7a^2\times bx , 8a^2\times bx$ দুইটি বীজগণিতীয় রাশি। রাশি দুইটির পদগুলোর মধ্যে পার্থক্য হচ্ছে শুধুমাত্র সাংখ্যিক সহগে। এই পদ দুইটি সদৃশ পদ।

এক বা একাধিক বীজগণিতীয় রাশির অন্তর্ভুক্ত যেসব পদের একমাত্র পার্থক্য রয়েছে সাংখ্যিক সহগে, তাদের সদৃশ পদ বলা হয়। অন্যথায় পদগুলো বিসদৃশ। যেমন, 9ax , 9ay রাশি দুইটির সাংখ্যিক সহগ একই, কিন্তু পদ দুইটি পৃথক; তাই তারা বিসদৃশ।

সদৃশ ও বিসদৃশ পদসমূহের উদাহরণ নিচে লক্ষ করা যায়:

সদৃশ পদ :

$$\begin{gathered} \left(i\right)5a,6a \\ \left(ii\right)3a^2,5a^2 \\ \left(iii\right)5abx , 8xab \\ \left(iv\right)2x^{2}ab,-x^{2}ab \\ \left(v\right)3x^{2}yz, 5y{x}^{2}z, 7yz{x}^2 \end{gathered}$$

বিসদৃশ পদ:

$$\begin{gathered} \left(i\right)3x{y}^2, 3x^{2}y \\ \left(ii\right)5abx , 5aby \\ \left(iii\right)a{x}^2{y}^2,b{x}^2{y}^{2}z, cxy² \\ \left(iv\right)ax³yz,bxyz,cxyz \end{gathered}$$

লক্ষ করি: একাধিক পদের বীজগণিতীয় প্রতীকগুলো একই হলে এবং তাদের সাংখ্যিক সহগ সমান হলেও সেগুলো বিসদৃশ পদ। যেমন, $3a{x}^2ও 3x^{2}a$ সদৃশ পদ, কিন্তু $5a{b}^2ও 5a^{2}b$ বিসদৃশ পদ।

দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশি যোগ করতে হলে সদৃশ পদের সহগগুলো চিহ্নযুক্ত সংখ্যার নিয়মে যোগ করতে হবে। এরপর প্রাপ্ত সহগের ডানপাশে প্রতীকগুলো বসাতে হবে। বিসদৃশ পদগুলো তাদের চিহ্নসহ যোগফলে বসাতে হবে।

উদাহরণ ১২ (ক)। যোগ কর: 2a+4b+5c, 3a+2b-6c.

সমাধান:

(2a+4b+5c) + (3a+2b-6c)
= (2a+3a)+(4b+2b) + (5c6c)
= 5a +6b-c.

নির্ণেয় যোগফল 5a+6b-c.

বিকল্প পদ্ধতি: সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,

$2a+4b+5c+3a+2b-6c5a+6b-c$

নির্ণেয় যোগফল 5a + 6b - c

উদাহরণ ১২ (খ)। যোগ কর: 3a + 6b + c, 5a + 2b + d .

সমাধান:

(3a + 6b + c) + (5a + 2b + d)

= (3a + 5a) + (6b + 2b) + c + d

= 8a + 8b + c + d

[এখানে সদৃশ পদগুলো যোগ করে বিসদৃশ পদ দুইটির যোগফলের সাথে যোগ করা হয়েছে।] নির্ণেয় যোগফল 8a + 8b + c + d

লক্ষ করি: সদৃশ পদের সাংখ্যিক সহগগুলোর বীজগণিতীয় যোগফল নির্ণয় করা হয়েছে। প্রাপ্ত যোগফলের পাশে সংশ্লিষ্ট পদের প্রতীকগুলো বসানো হয়েছে। এভাবে প্রাপ্ত সব পদের যোগফলই নির্ণেয় যোগফল।

উদাহরণ ১৩। যোগ কর: $5a+3b-c^2,-3a+4b+4c^2,a-8b+2c^2.$

সমাধান: সদৃশ পদগুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে পাই,

নির্ণেয় যোগফল $3a-b+5c^2$

উদাহরণ ১৪। যোগ কর: $$\begin{gathered} \left(i\right)7x - 5y + 7z , 2x - 3z + 7y 8x + 2y - 3z \\ \left(ii\right)4x^2-3y+7z,8x^2+5y-3zy+2z \end{gathered}$$

সমাধান:

(i)

নির্ণেয় যোগফল 17x + 4y + z

(ii)

নির্ণেয় যোগফল $12x^2+3y+6z$

লক্ষ করি: কোনো রাশির আগে কোনো চিহ্ন না থাকলে, সেখানে যোগ (+) চিহ্ন ধরা হয়।

a - b = a + (- b)

একটি বীজগণিতীয় রাশি থেকে অপর একটি বীজগণিতীয় রাশি বিয়োগ করার ক্ষেত্রে, প্রথম রাশির সাথে দ্বিতীয় রাশির যোগাত্মক বিপরীত রাশি যোগ করা হয়। অর্থাৎ, বিয়োজ্য বা দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে প্রাপ্ত রাশিকে প্রথম রাশির সাথে যোগ করা।

উদাহরণ ১৫। 5a+ 4b -5c থেকে 3a - 4b - 6c বিয়োগ কর।

সমাধান:

বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,

- 3a + 4b + 6c

এখন রূপান্তরিত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,

বিকল্প পদ্ধতি:

এখানেও চিহ্ন পরিবর্তন করে যোগ করা হয়েছে।

উদাহরণ ১৬। $5x^2-4x^{2}y+5x{y}^2$ থেকে $-3x{y}^2-4x^{2}y+5x^2$ বিয়োগ কর।

সমাধান: বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,

$3x{y}^2+4x^{2}y-5x^2$

এখন প্রথম রাশির সাথে রূপান্তরিত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,

নির্ণেয় বিয়োগফল $8x{y}^2$

উদাহরণ ১৭। বিয়োগ কর:

(i) 4xy + 2yz + 5zx থেকে 3xy - yz + 2zx
(ii) 3ab + bc - 4ca - 5 থেকে 2ab - 2bc - 5ca - 6

সমাধান:
(i)

নির্ণেয় বিয়োগফল xy + 3yz + 3zx

(ii)

নির্ণেয় বিয়োগফল ab + 3bc + ca + 1

লক্ষ করি: প্রথম রাশি লেখার পর দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে লিখে যোগ করা হয়েছে।

উদাহরণ ১৮। p,q,r তিনটি বীজগনিতীয় রাশি যেখানে

p = 7a + 5b + 6c q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a

(ক) a = 1 b = 2 এবং c = 3 হলে ৭ এর মান নির্নয় কর?
(খ) 2p-3q+5r মান নির্নয় কর?
(গ) প্রমান কর যে, প্রদত্ত রাশি গুলোর যোগফল প্রথম রাশির দ্বিগুনের সমান।

সমাধান:

(ক) q = 3a - b + 9c

=3.1-2+9.3 [মান বসিয়ে]

=3-2+27

=30-2

=28

(খ)

2p-3q+5r
2(7a+5b+6c)-3 (3a-b+9c)+5 (- 3c + 6b + 4a) [মান বসিয়ে]
= 14a + 10b + 12c - 9a + 3b - 27c - 15c + 30b + 20a
= 14a + 20a - 9a + 10b + 3b + 30b + 12c - 27c - 15c
=25a+43b-30c

(গ) সদৃশ পদ গুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে পাই

7a + 5b + 6c
3a-b+9c
(+) 4a+6b-3c
14a+10b+12c

রাশিগুলোর যোগফল
= 14a + 10b + 12c
= 2(7a + 5b + 6c)
= 2p

রাশিগুলোর যোগফল প্রথম রাশির দ্বিগুনের সমান। (প্রমানিত)

১। 5x + 3y রাশিতে x এর সহগ নিচের কোনটি?

(ক) ৪
(খ) 5x
(গ) 3y
(ঘ) 5

২। x এর তিনগুণ এবং y এর দ্বিগুণের সমষ্টি নিচের কোনটি?

(ক) y + 3x
(খ) 3x + 2y
(গ) x + 2y
(ঘ) 2x + 3y

৩। $7x^3\times x^2$ এ x এর সূচক নিচের কোনটি?

(ক) 7
(খ) 5
(গ) $x^5$
(ঘ)$x^6$

৪। নিচের কোন জোড়া সদৃশ পদ নির্দেশ করে?

(ক) 2x, - 7xy
(x) $-3xy , 7x^{2}y$
(গ) $3x^2 ,-7x^2$
(4) $-7x^{2}y , 8x{y}^2$

৫। $m^2-7$ রাশিটিতে m = - 6 হলে, রাশিটির মান কত?

(ক) 36
(খ) 13
(গ) - 29
(ঘ) 29

৬। a - b থেকে b - a বিয়োগ করলে, বিয়োগফল কত হবে?

(ক) a + b
(খ) 0
(গ) 2a - 2b
(ঘ) a

৭। $x^2+3 , x^2-2, -2x^2+1$ রাশি তিনটির যোগফল কত?

(ক) 1
(খ) 2
(গ) $x^2-1$
(ঘ) $1-x^2$

৮। 5x⁴ রাশিটিতে-
(i) x এর ঘাত 4
(ii) দুইটি পদ আছে
(iii) x এর সহগ 5
নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii, ও iii

৯। x ও y চলকদ্বয়ের-
(i) যোগফল x+y
(ii) গুণফল xy
(iii) বর্গের সমষ্টি x²-y²
নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii, ও iii

$\#x^2-y^2, y^2-z^2$ এবং $z^2-x^2$ , তিনটি বীজগণিতীয়

রাশির আলোকে (১০-১১) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

১০। x=2 এবং y=-3 হলে ১ম রাশির মান কত?

(ক) -13
(খ) -5
(গ) 5
(ঘ) 13

১১। রাশি তিনটির যোগফল কত?

(ক) 0
(খ) $2x^2$
(গ) $2x^2+2y^2+2z^2$
(ঘ) $-2x^2-2x^2-2z^2$

১২।

(i) 12x হলো x এবং 12 এর ঘাতের সমষ্টি
(ii) 4a³ রাশিতে a এর সূচক 3.
(iii) 3x + 4 রাশিতে x এর সহগ 3.
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii ও iii

১৩।
(i) 5ax² এবং 7x²a পদ দুইটি সদৃশ।
(ii) 3x²+2x+y- 5.x বীজগণিতীয় রাশিটিতে 4 টি পদ আছে।
(iii) a = 2 এবং b = 3 হলে, 4a-b এর মান হবে 5.
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii ও iii

১৪। $9x^2,8x^2,5y^2$ তিনটি বীজগণিতীয় রাশি। তাহলে-

(১) রাশি তিনটির সাংখ্যিক সহগের যোগফল কত?

(ক) 13
(খ) 14
(গ) 17
(ঘ) 22

(২) প্রথম দুইটি রাশির গুণফলের ঘাতের সূচক কত?

(ক) 72
(খ) 17
(গ) 4
(ঘ) 0

১৫।

$x^2+y^2+z^2, x^2-y^2+z^2, -x^2+y^2-z^2$ তিনটি বীজগণিতীয় রাশি। এই তথ্যের ভিত্তিতে নিচের (১) থেকে (৪) নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও:

(১) প্রথম দুইটি রাশির বিয়োগফলের সাথে তৃতীয় রাশি যোগ করলে নিচের কোনটি হবে?

(ক) $-x^2+3y^2-z^2$
(2!) $3x^2-y^2+3z^2$
(গ)$x^2-3y^2+z^2$
(ঘ) $x^2+y^2+z^2$

(২) দ্বিতীয় রাশির $y^2$ এর সহগ কত?

(ক) 0
(খ) -1
(গ) 1
(ঘ) 2

(৩) রাশি তিনটির যোগফল কত?

(ক) $3x^2+y^2+z^2$
(খ) $2x^2+y^2+z^2$
(গ) $x^2+y^2+z^2$
(ঘ) $x^2-y^2+z^2$

(৪) প্রথম দুইটি রাশির যোগফল থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফল নিচের কোনটি হবে?

(ক) $3x^2+2y^2-z^2$
(খ) $3x^2-y^2+3z^2$
(গ) $x^2+2y^2-2z^2$
(ঘ) $3x^2+3y^2+3z^2$

যোগ কর (১৬- ২৫):

১৬। 3a + 4b, a + 3b
১৭। 2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 6b
১৮। 4a - 3b, - 3a + b, 2a + 3b
১৯। 7x + 5y + 2z, 3x - 6y + 7z - 9x + 4y + z
২০। $x^2+xy+z, 3x^2-2xy+3z, 2x^2+7xy-2z$
$২১। 4p^2+7q^2+4r^2, p^2+3r^2 , 8q^2-7p^2-r^2.$
২২। 3a + 2b - 6c - 5b + 4a + 3c 8b - 6a + 4c
$২৩। 2x^3-9x^2+11x+5,-x^3+7x^2-8x-3-x^3+2x^2-4x+1$
২৪। 5ax + 3by - 14cz - 11by - 7ax - 9cz 3ax + 6by - 8cz

$২৫। x^2-5x+6x^2+3x-2-x^2+x+1-x^2+6x-5$

২৬। যদি $a^2=x^2+y^2-z^2,b^2=y^2+z^2-x^2,c^2=x^2+z^2-y^2$ হয়, তবে দেখাও যে, $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2$

২৭। যদি x = 5a + 7b + 9c y = b - 3a - 4c z = c - 2b + a হয়, তবে দেখাও যে x + y + z = 3(a + 2b + 2c)

বিয়োগ কর (২৮ – ৩৫):

২৮। 3a + 2b + c থেকে 5a + 4b - 2c

২৯। 3ab + 6bc - 2ca থেকে 2ab - 4bc + 8ca

৩০। $a^2+b^2+c^2$ থেকে $-a^2+b^2-c^2.$

৩১। 4ax + 5by + 6cz থেকে 6by + 3ax + 9cz

৩২। $7x^2+9x+18$ থেকে $5x+9+8x^2$

৩৩। $3x^3{y}^2-5x^2{y}^2+7xy+2$ থেকে $-x^3{y}^2+x^2{y}^2+5xy+2.$

৩৪। $4x^2+3y^2+z$ থেকে $-2y^2+3x^2-z$

৩৫। $x^4+2x^3+x^2+4$ থেকে $x^3-2x^2+2x+3$

৩৬। যদি $a=x^2+z^2, b=y^2+z^2, c=x^2+y^2$ হয়, তবে দেখাও যে, $a+b-c=2z^2$

৩৭। যদি x = a + b y = b + c , z = c + a হয়, তবে দেখাও যে, x - y + z = 2a

৩৮। যদি x = a + b + c , y = a - b - c z = b - c + a হয়, তবে দেখাও যে, x - y + z = a + 3b + c

৩৯। $a^2,b^2,c^2$ তিনটি বীজগণিতীয় রাশি হলে,

(ক) $b^2$ এর সাংখ্যিক সহগ কত?
(খ) $a^2$ এর দ্বিগুণের সাথে $c^2$ এর তিনগুণ যোগ কর।
(গ) $a^2$ এর তিনগুণ থেকে $b^2$ এর দ্বিগুণ বিয়োগ করে বিয়োগফলের সাথে $c^2$ এর চারগুণ যোগ কর।

৪০। একটি খাতার দাম x টাকা, একটি কলমের দাম y টাকা এবং একটি পেন্সিলের দাম z টাকা হলে

(ক) 3টি খাতা ও 2টি কলমের মোট দাম কত?
(খ) 5 টি খাতা ও 8টি পেন্সিলের মোট দাম থেকে 10 টি কলমের দাম বাদ দিলে কত হবে বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(গ) 3x - 2y + 5z দ্বারা কী বোঝায়? y ওz এর সাংখ্যিক সহগ কত? x, y ও z এর সাংখ্যিক সহগগুলোর গুণফল কত?

৪১। $5x^2+xy+3y^2, x^2-8xy, y^2-x^2+10xy$ তিনটি বীজগণিতীয় রাশি হলে,

(ক) প্রথম রাশিটির পদসংখ্যা কয়টি এবং কী কী?
(খ) রাশি তিনটি যোগ কর। যোগফলের xy এর সহগ কত?
(গ) $(5x^2+xy+3y^2)-(x^2-8xy)-(y^2-x^2+10xy)$ সরল করে এর মান নির্ণয় কর; যখন x = 2 এবং y = 1 .

৪২। $x=(a+b{)}^{2}y=a^2+2ab+b^2$ এবং $z=a^2+b^2-2ab$

(ক) z পদগুলোর সাংখ্যিক সহগগুলোর যোগফল নির্ণয় কর।
(খ) y + z এবং y - z নির্ণয় কর।
(গ) a = 3 এবং b = - 2 হলে প্রমাণ কর যে, x=y